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做过“容斥问题”的同学们通常都会遇到这样的题目“一名外国游客到北京旅游,他要么上午出去游玩,下午在旅馆休息,要么上午休息,下午出去游玩,而下雨天他只能一天都呆在屋里。在此期间,不下雨的天数是12天,他上午呆在旅馆的天数为8天,下午呆在旅馆的天数为12天,他在北京共呆了多少天?”。这是一道不太明显的容斥问题,如知道这是一道两集合容斥的话,我们可以根据两集合容斥原理得到答案,十分简单。
如果我们看不出这是容斥原理的题目就做不出了吗?其实不然,我们也还有方法能解这道题。上午呆在旅馆的天数为8天,下午呆在旅馆的天数为12天,那么可以推出他在宾馆总共呆了8+12=20个上下午;另有12天不下雨,根据题意,在不下雨的这12天他应该总共呆了12个上下午,那么还剩下20-12=8个上下午。这8个上下午是哪里来的呢?只能是下雨的时候来的!又根据题意,下雨天一天都要呆着旅馆,所以8个上下午总共就是4天。那么我们可以得到下雨的天数就是4天啦,所以总天数=下雨天(已求出)+不下雨天(题干给出)=12+4=16天。
我们联考还有一道类似的题“野生动物保护机构考察某圈养动物的状态,在n(n为正整数)天中观察到:①有7个不活跃日(一天中有出现不活跃的情况);②有5个下午活跃;③有6个上午活跃;④当下午不活跃时,上午必活跃,则n等于?”同样的思路我们可以解,总共5+6=11个活跃,7个不活跃日就有7个上下午是活跃的,那么还剩4个,这4个只能是在活跃日产生,就得到2个活跃日,那么n=不活跃日+活跃日=7+2=9。
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